C. R. Acad. Sc. Paris, t. 303, Série II, n° 14, 1986 1283

PHYSIQUE DES MATÉRIAUX. — Réponse élastique des matériaux fibrés composites
avec liaisons faibles. Note, à langue dominante anglaise, de Hanoch Daniel Wagner,
présentée par Yves Quéré.

Les matériaux hétérophases ou composites possédant une structure fibreuse sont souvent présents dans la
nature ainsi que dans de nombreux objets et structures faits de main d'homme. Il est reconnu que le degré
d'adhésion entre la fibre et le support matriciel est un facteur important en ce qui concerne la réponse
mécanique du matériau. Les matériaux hétérophases à forte adhésion et à haute teneur en fibre possèdent des
propriétés élastiques améliorées par rapport à la matrice non renforcée, et celles-ci sont décrites par divers
traitements théoriques. Ces traitements sont cependant inadéquats pour les cas plus rares de matériaux
composites à faible liaison entre les constituants. Nous proposons dans cette étude un modèle semi-empirique
simple pour le cas de composite à faible teneur en renfort ( ≦ 20pc en volume) et pour lesquels les fibres sont
faiblement liées à la matrice. De tels matériaux composites sont parfois utilisés pour la fixation de prothèses
en chirurgie. Le modèle théorique proposé est en accord satisfaisant avec les données expérimentales.

SOLID STATE PHYSICS. — Elastic response of fibrous composite materials with weak bonding (mostly
in English Language).

Heterophase or composite materials possessing a fibrillar structure arise frequently in nature as well as in a
wealth of today's man-made objects and structures. The degree of adhesion between the fibrous component and
the support matrix is known to be an important factor regarding the mechanical response of the
material. Well-bonded highly fibrous heterophase materials possess improved elastic properties, as compared to
the matrix, which are modeled by various theoretical treatments. For less frequently used weakly bonded
composite materials, the theories are inadequate. Here we present a simple, approximate theoretical scheme for
the case of low fibre content ( ≦ 20 pc by volume) composites with a weak interface among the constituents. Such
composites are sometimes utilized for the fixation of prostheses in joint surgery. The proposed theoretical scheme
appears to be appropriate as confirmed by experimental data.

Diverses méthodes prédictives ont été proposées ([2]-[4]) pour le calcul des modules
d'élasticité des matériaux hétérophases à renfort bi- et tri-dimensionnel aléatoires. Celles-ci
ont été l'objet de revues par Nielsen [5] et, plus récemment, par Bert et Klein [6]. Une
hypothèse fondamentale de ces méthodes consiste à supposer la continuité des déplacements
à l'interface, c'est-à-dire que les deux phases, matrice et fibre, sont parfaitement liées l'une
à l'autre. Cependant, pour certaines applications, on fait usage de composites à bas
pourcentages de fibres faiblement liées à la matrice. Tel est le cas, par exemple, du
Poly(méthyl méthacrylate) (PMMA) renforcé de fibres de carbone ou de Kevlar 29, qui est
utilisé parfois dans le domaine des implantations chirurgicales ([7]-[12]). Le PMMA chirurgi-
cal non renforcé est utilisé couramment pour la fixation d'endoprothèses et joints artificiels,
ainsi qu'en chirurgie dentaire, mais possède une structure imparfaite et poreuse et donc une
tenue mécanique peu satisfaisante. De fait, le PMMA dans son rôle d'interface entre la
paroi osseuse et la prothèse rigide est certainement la phase la plus faible [11]. Une
amélioration des propriétés thermophysiques de ce matériau consiste en la création d'un
réseau tri-dimensionel hétérophase au moyen de fibres de renfort en métal [7], en verre [8],
en carbone [9] ou aramide [10]. On constate également que l'incorporation d'une seconde
phase réduit la température de polymérisation au voisinage du tissu osseux, ce qui est un
avantage supplémentaire.

En ce qui concerne le module de Young et la résistance à la fracture, l'effet de renfort
n'est pas très prononcé, ainsi que cela a été observé récemment pour le système Kevlar
29/PMMA ([10]-[12]). Cet effet est cependant élevé pour l'énergie de fracture (fracture
toughness) ([11], [12]) et probablement pour la résistance à la fatigue.

La figure 1 présente le module de Young de spécimens en PMMA industriel (non-
chirurgical) préparés dans le laboratoire par la méthode de cuisson sous pression. (Ce 
matériau présente un pourcentage de pores qui est nettement moins élevé que pour le
PMMA chirurgical.) Le pourcentage fibreux est reporté sur l'axe horizontal. Le module de
Young est présenté également sur la figure 2 en fonction de la longueur de fibre utilisée, et
on constate que le module du composite à faible teneur en renfort ne dépend pas de cette
longueur, comme l'ont prédit correctement Weng et Sun [14]. En conséquence, les données
expérimentales correspondant aux diverses longueurs de fibre ont été groupées sur la
figure 1. Sur la même figure, les prédictions théoriques les plus connues, celles de Halpin-
Tsai-Pagano ([2], [4]) et de Christensen-Waals [3], sont présentées. La prédiction la plus
précise, celle de Christensen-Waals, est peu satisfaisante. Nous proposons dans cette étude
une explication de cette différence entre théorie et expérience à l'aide d'un modèle semi-
empirique.

Nous avons récemment observé, à l'aide du microscope électronique, la morphologie de
l'interface entre la fibre de Kevlar 29 et la matrice en PMMA [11]. Nous avons constaté
que, comme pour le cas de la fibre en carbone, une séparation nette existe entre les deux
matériaux, due au manque de liaison chimique entre ceux-ci. Une façon simple de décrire
le comportement du module de Young d'un matériau composite pour lequel le degré
d'adhésion à l'interface est variable s'effectue à l'aide de l'équation (1) (voir texte en
anglais). Celle-ci comprend une fonction qui est généralement difficile à définir sauf pour
les deux cas extrêmes de faible et de forte adhésions. Dans le premier cas la function en
question s'annule et le terme restant concorde de façon satisfaisante avec nos données
expérimentales (fig. 1) Dans le second cas, la fonction est prise égale à l'unité et l'on
obtient le modèle de Christensen- Waals comme cas particulier.

Finalement, on peut se demander s'il existe une différence de comportement entre, d'une
part, un matériau composite possédant un interface faible, et d'autre part, un matériau
matriciel poreux contenant un pourcentage équivalent en pores. En utilisant le modèle de
Walsh [16], modifié par différents auteurs ([17], [18]), qui décrit la teneur mécanique des
matériaux élastiques poreux et que nous avons reporté sur la figure 1 [voir équation (2)],
on conclut qu'une telle différence existe effectivement.

The elastic and fracture behaviour of a material may be considerably improved by
dispersing throughout its volume a stiffer and stronger fibrous phase material. Bamboo
is a typical case found in nature, and straw reinforced bricks manufactured by the
Israelites in 800 BC [1] is an example of early application by man of the same
concept. Various methods have been proposed ([2]-[4]) for predicting the elastic moduli
of three-dimensional (3D) random heterophase materials, and have been reviewed by
Nielsen [5] and, more recently, by Bert and Kline [6]. A key assumption in the methods
is that continuity of displacement is permanently maintained at the interface of the two
materials, that is, the constituents of the mixture are well bonded together. In special
applications, low fibre content composites made of weakly bonded constituents are
sometimes utilized, as in the case of reinforced poly(methyl methacrylate) (PMMA) for
surgical implantations ([7]-[12]). Unreinforced surgical grade PMMA cement is com-
monly used for the fixation of endoprostheses such as the artificial hip and knee, as well
as in dental surgery, and is a very imperfectly structured, porous material with a relatively
poor mechanical performance. Acting as an interfacial phase between the bone and the
prosthetic stem, PMMA bone cement is indeed the weakest link in this complex structure
[11]. One way to improve the thermophysical properties of the cement is to form a 3D
network consisting of the already used acrylic cement mixed with short fibres of metals
[7], glass [8], carbon [9] or aramid [10]. The incorporation of short fibres in the acrylic
based material decreases the polymerisation rate, reducing the temperature of the reaction
taking place in the vicinity of the bone tissue, and improves the fracture toughness and
fatigue resistance of the cement. The fibre reinforcement effect on Young's modulus
and the strength is not so pronounced, however, as recently observed in Kevlar 29 fibre
reinforced dental and bone cements ([10]-[12]). By using a careful mixing procedure for
specimen preparation, a less porous structure and higher fibre contents (up to about 10
pc by weight) can be reached, and a more homogeneous fibre dispersion obtained [11].

Fig. 1. — Plot of Young's modulus against fibre content for Kevlar 29 reinforced PMMA. The experimental
results are averages of four measurements and the error bard are 90 pc confidence intervals. HTP is the
Halpin-Tsai-Pagano model ([2], [4]), CW is the Christensen-Waals model [3], and WZHS corresponds to
Walsh-Zimmerman-Hasselman-Salganik models [equation (2)]. The data used in computing the various
parametres in this plot were as follows: fibre Young's modulus = 65 GPa, matrix Young's modulus =2.8 GPa,
matrix Poisson ratio = 0.35, fibre density = 1.44, matrix density = 1.20. In computing Young's modulus
using the HTP model, we found the effect of fibre length, L, to be very little ( ≦ 1.5% in the worst case) in
the range 3 mm ≦ L ≦ 12 mm. This observation is confirmed by the theoretical results presented by Weng
and Sun [14] and by the experimental data presented in Figure 2 of the present study. The fibre weight
content was evaluted by both solvent extraction and thermogravimetric analysis (TGA) using six to eight
specimens. The lower bound corresponds to f(β) = 0 and the upper bound, identical to Christensen-Waals
equation, to f (β) = 1, as indicated.

Fig. 1. — Module de Young en fonction du contenu fibreux pour le cas du PMMA renforcé de Kevlar 29. Les
résultats expérimentaux représentent la moyenne de quatre mesures et les barres d'erreur sont les intervalles de
confiance à 90pc. HTP est le modèle de Halpin-Tsai-Pagano ([2], [4]), CW est le modèle de
Christensen-Waals [3], et WZHS représente le modèle de Walsh-Zimmerman-Hasselman-Salganik
[équation (2)]. Les données utilisées furent les suivantes : Module de Young de la fibre = 65 GPa, module de
Young de la matrice = 2,8 GPa, coefficient de Poisson de la matrice = 0,35, densité de la fibre = 1,44, densité de
la matrice = 1,20. Le calcul du module de Young à l'aide du modèle de HTP montre que l'effet de la longueur,
L, de la fibre est négligeable (moins de 1,5 %) pour 3 mm ≦ L ≦ 12 mm. Cette observation est confirmée par les
résultats théoriques de Weng et Sun [14] ainsi que par les données de la figure 2 du présent travail. La teneur
en fibre a été calculée par extraction ainsi que par analyse thermogravimétrique (TGA) en utilisant six à huit
spécimens. La borne inférieure correspond à f (β) = 0 et la borne supérieure, qui est identique à l'équation de
Christensen-Waals, à f (β) = 1.

Fig. 2. — Plot of Young's modulus against fibre length or aspect ratio for 4 pc by weight Kevlar 29 reinforced
PMMA specimens. The experimental results are averages of four measurements at each fibre aspect ratio,
and the error bars are 90 pc confidence intervals.

Fig. 2. — Module de Young en fonction de la longueur de la fibre pour le cas du PMMA renforcé de 4pc en
poids de Kevlar. Les points expérimentaux sont les moyennes de quatre mesures à chaque longueur de fibre, et
les barres d'erreurs sont les intervalles de confiance à 90 pc.

In Figure 1 we report Young's modulus of industrial PMMA samples prepared in our
laboratory by the hot-pressing method, measured by the three-point beam bending
technique, at a displacement rate of 0.5 cm/min., with a correction applied for the
shearing contribution [13]. The beam span-to-depth ratio used was 5 in all
cases. Young's modulus is also plotted against fibre aspect ratio (length: diametre) in
Figure 2 and it is seen that, as correctly predicted by Weng and Sun [14], the modulus
of low fibre content composites is insensitive to this parametre. Thus, in Figure 1 we
have grouped the experimental data corresponding to various fibre aspect
ratios. Theoretical predictions are reported in Figure 1 for Young's modulus according
to the Halpin-Tsai-Pagano ([2], [4]) and Christensen-Waals [3] models, which are the
most commonly utilized for 3D random fibre composites. The closest approximation
to the experimental data, given by the Christensen-Waals model, does not appear to be
a satisfying one. This discrepancy between theory and experiment for Young's modulus
of composites made of weakly adhering components has been recently emphasized by
Dai and Piggott [15], together with the need for a revision of the theoretical approach
of the problem.

We have attempted to explain this discrepancy by re-examination of some of the
assumptions present in the classical models mentionned above. These assume uniform
fibre dispersion within the matrix, 3D random orientation of the fibres, no voids, and
perfect adhesion between fibres and matrix. The first two of these assumptions are
probably satisfied by the Kevlar 29/PMMA system examined here, but from scanning
electron micrographs ([9], [11]), it appears that a circumferential gap exists at the
fibre/matrix interface, strongly suggesting that imperfect bonding exists at this
location. Such a gap is typical of carbon fibre reinforced cements as well [6]. Due to
poor mixing, voids are always present in surgical PMMA, but since the composite system
studied here was prepared using a hot-pressing procedure, very little void content was
observed. Perhaps the simplest way to account for a variable interfacial bond strength
in a composite medium is through the following approximate equation:

where ε3D is the composite Young's modulus, ϕ1 is the fibre content by volume, ε1 and
ε2 are the fibre and matrix Young's moduli, respectively, and ν2 is the matrix Poisson
ratio. β is a numerical parametre which represents the strength of the interfacial bond
between the constituents of the material, and f (β) is an unknown function, except in two
particular cases, as shown below. This equation, which generalizes Christensen-Waals
equation, presents several interesting features. First, when very poor bonding is present
as in the present case, f (β) = 0 and the first term in the right hand side of equation (1)
disappears. The remaining term of equation (1) is seen to fit rather well the experimental
data, as seen in Figure 1. If the bond is assumed to be perfect, f (β) = 1 and Christensen-
Waals equation is obtained (note that the first term of the right-hand side is Cox's
approximation [2]). The above equation is a new, simple result which is particularly
relevant to the extreme cases of either poor or strong bonding, since intermediate cases
are more difficult to quantify.

Is there any difference in behaviour between a composite material with weakly bonded
constituents and a porous matrix containing an equivalent void fraction? By looking at
the second term of the right hand side in equation (1), which is a slowly varying function
of the fibre content, the answer to the above question appears to be positive, a result
which is further confirmed by the following argument. The effect of microcracking
upon the elastic moduli for homogeneous isotropic bodies with a crack density
c = N 〈a〉3. where N is the number of (non-interacting, penny-shaped) cracks per unit
volume and 2 a is the average length of the crack, can be modeled by the following
expression proposed by Walsh [16] and revised by Zimmerman [17]:

identical to Sagalnik's equation as modified by Hasselman ([17], [18]). By dimensional
considerations, the crack density number c can be identified with a crack volume fraction
equivalent to the fibre volume fraction, ϕ1, and the result is plotted in Figure 1,
confirming our previous conclusion that Young's modulus of a porous, microcracked,
material is different from that of a heterophase material containing weakly bonded fibres
of equivalent volume fraction.

This work was supported by a grant from the Yeda Fund, the Weizmann Institute of Science, which is
gratefully acknowledged. Thanks are due to Dr. S. Reich for valuable discussions.

Reçue le ler septembre 1986.

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Department of Materials Research,
The Weizmann Institute of Science, Rehovot 76100, Israel.

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0249-6305/86/03031283 $ 2.00 © Académie des Sciences

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